#9 Алгебраические задачи с целыми числами

\(n^2-n=n(n-1)\). Это произведение двух соседних целых чисел, одно из них чётно. Значит, произведение делится на \(2\).

\(n^3-n=n(n-1)(n+1)\). Среди трёх последовательных целых одно делится на \(3\), а одно делится на \(2\). Поэтому произведение делится на \(6\).

\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Поэтому корни \(x=2\) и \(x=3\).

Возможные целые корни: \(\pm1,\pm2\). Проверяем: \(1-4+2=-1\), \(-1+4+2=5\), \(8-8+2=2\), \(-8+8+2=2\). Нулей нет, значит целых корней нет.

Положительные делители \(12\): \(1,2,3,4,6,12\). Поэтому пары: \((1,12),(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),(12,1)\).

Достаточно проверить \(n\equiv0,1,2,3,4\pmod5\). Получаем \(n^5\equiv n\pmod5\) для каждого остатка: \(0^5=0\), \(1^5=1\), \(2^5=32\equiv2\), \(3^5=243\equiv3\), \(4^5\equiv(-1)^5\equiv-1\equiv4\). Значит, \(n^5-n\equiv0\pmod5\).

Пусть \(u=x-y\), \(v=x+y\). Тогда \(uv=15\), \(x=\frac{u+v}{2}\), \(y=\frac{v-u}{2}\). Оба множителя нечётны, поэтому все пары делителей дают целые \(x,y\).

Для \((u,v)=(1,15),(15,1),(3,5),(5,3)\) и соответствующих отрицательных пар получаем \((8,7),(8,-7),(4,1),(4,-1),(-8,-7),(-8,7),(-4,-1),(-4,1)\).

Числа \(x,y\) — корни \(t^2-10t+21=0\). Разложение \(t^2-10t+21=(t-3)(t-7)\) даёт \(\{x,y\}=\{3,7\}\).

Квадрат по модулю \(3\) равен \(0\) или \(1\). Тогда \(x^2+1\) даёт остаток \(1\) или \(2\), но \(3y\equiv0\pmod3\). Противоречие.

Пусть \(u=x-2y\), \(v=x+2y\). Тогда \(uv=12\), \(x=\frac{u+v}{2}\), \(y=\frac{v-u}{4}\). Нужно, чтобы \(u+v\) делилось на \(2\), а \(v-u\) на \(4\). Проверка делителей \(12\) даёт пары \((u,v)=(2,6),(6,2),(-2,-6),(-6,-2)\). Отсюда \((x,y)=(4,1),(4,-1),(-4,-1),(-4,1)\).

\(n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2)\). Это произведение трёх последовательных целых чисел, поэтому оно делится на \(6\).

Получаем \((2x+y)^2+3y^2=28\). Значит, \(3y^2\le28\), откуда \(y\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). Проверка этих семи значений даёт все решения: \((-3,1),(-3,2),(-2,-1),(-2,3),(-1,-2),(-1,3),(1,-3),(1,2),(2,-3),(2,1),(3,-2),(3,-1)\).

Перебираем целые пары множителей \(rs=12\): \((1,12),(2,6),(3,4)\) и перестановки, а также отрицательные пары. Возможные суммы: \(13,8,7,-13,-8,-7\). Поэтому \(a=-13,-8,-7,7,8,13\).

Получаем \(6x+6y=xy\), то есть \(xy-6x-6y=0\). Тогда \((x-6)(y-6)=36\). Перебирая положительные делители \(36\), получаем \((x,y)=(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)\) и симметричные пары.

Если \(p\nmid a\), то \(a\) имеет обратный остаток по модулю \(p\). Из \(a^2\equiv0\pmod p\) умножаем на обратный к \(a\) дважды и получаем \(1\equiv0\pmod p\), что невозможно. Значит, \(p\mid a\).

Пусть корни \(r\) и \(s\). Тогда \(r+s=6\), \(k=rs\). Пишем \(r=3+t\), \(s=3-t\), где \(t\in\mathbb Z\). Тогда \(k=9-t^2\). И наоборот, при любом целом \(t\) корни \(3+t\) и \(3-t\) целые. Ответ: все \(k=9-t^2\), \(t\in\mathbb Z\).

Уравнение равносильно \((x-y)^2=1\). Поэтому \(x-y=1\) или \(x-y=-1\). Все решения: \((x,y)=(t+1,t)\) и \((t,t+1)\), где \(t\in\mathbb Z\).

Квадрат целого числа по модулю \(4\) равен \(0\) или \(1\). Поэтому сумма двух квадратов по модулю \(4\) может быть \(0,1,2\), но правая часть \(4z+3\) даёт остаток \(3\). Противоречие.

Имеем \((2x-y)^2+3y^2=4\). Тогда \(y\in\{-1,0,1\}\). Если \(y=0\), то \(x=\pm1\). Если \(y=1\), то \((2x-1)^2=1\), значит \(x=0\) или \(1\). Если \(y=-1\), то \((2x+1)^2=1\), значит \(x=0\) или \(-1\). Ответ: \((1,0),(-1,0),(0,1),(1,1),(0,-1),(-1,-1)\).

Умножим на \(2\): \((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=4\). Квадраты целых чисел в сумме дают \(4\). Возможны только наборы квадратов \(4,0,0\) или \(1,1,2\), но \(2\) квадратом не бывает. Значит, две разности равны \(0\), а третья равна \(\pm2\).

Итак, две переменные равны, а третья отличается от них на \(2\). Все решения: перестановки троек \((t,t,t+2)\) и \((t,t,t-2)\), где \(t\in\mathbb Z\).

Пусть \(\left(\frac{p}{q}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\cdots+a_0=0\). Умножаем на \(q^n\): \(p^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_0q^n=0\).

Все слагаемые, кроме \(p^n\), делятся на \(q\), значит \(q\mid p^n\). Так как \((p,q)=1\), получаем \(q=1\).

\((x+y)^2=25+24=49\), значит \(x+y=\pm7\). По Виета \(s=x+y\), поэтому \(s=7\) или \(s=-7\). Оба значения достижимы: пары корней \((3,4)\) и \((-3,-4)\).

Умножим на \(4\): \(4x^2-12x+4y^2-12y=0\). Тогда \((2x-3)^2+(2y-3)^2=18\).

Квадраты нечётных чисел, сумма которых \(18\), могут быть только \(9\) и \(9\). Значит, \(2x-3=\pm3\), \(2y-3=\pm3\). Отсюда \(x,y\in\{0,3\}\). Все решения: \((0,0),(0,3),(3,0),(3,3)\).

Предположим, что положительное решение существует, и выберем его с минимальной суммой \(x+y\). Пусть \(x\ge y\). Если \(x=y\), то \(2x^2=5x^2\), невозможно. Значит, \(x>y\).

Рассмотрим \(X^2-5yX+y^2=0\). Один корень равен \(x\), второй по Виета равен \(x'=5y-x\), а произведение корней равно \(y^2\). Поэтому \(x'=\frac{y^2}{x}\), значит \(x'\) положителен и целый.

Так как \(x>y\), имеем \(0