Глава
Дроби, десятичная запись и периодичность
Конечные десятичные дроби, периодические дроби, длина периода и структура десятичной записи дробей.
Теория
1. Конечные десятичные дроби
Несократимая дробь \(a/b\) имеет конечную десятичную запись тогда и только тогда, когда простые делители \(b\) — только \(2\) и \(5\).
2. Количество знаков после запятой
Если \(b=2^r5^s\), то для записи \(a/b\) достаточно \(\max(r,s)\) знаков после запятой.
3. Периодические дроби
Если в знаменателе есть другой простой делитель, при делении в столбик остаток рано или поздно повторится.
Примеры
Пример 1. Критерий конечной записи
Это основной критерий конечной десятичной записи.
Задача.
Объясните, почему несократимая дробь со знаменателем \(2^a5^b\) имеет конечную десятичную запись.
Решение.
Если \(m=\max(a,b)\), то \(2^a5^b\mid10^m\). Значит, дробь можно записать со знаменателем \(10^m\).
Пример 2. Сколько знаков после запятой
Это быстрый вычислительный вариант критерия.
Задача.
Сколько знаков после запятой нужно для записи \(\frac{7}{2^3\cdot5^5}\)?
Решение.
Знаменатель делит \(10^5\), но не меньшую степень \(10\). Нужно \(5\) знаков после запятой.
Пример 3. Перевести периодическую дробь
Это стандартный алгебраический перевод периодической дроби.
Задача.
Запишите \(0.\overline{27}\) в виде несократимой дроби.
Решение.
Если \(x=0.\overline{27}\), то \(100x=27.\overline{27}\). Поэтому \(99x=27\), значит \(x=3/11\).
Пример 4. Пятидесятая цифра дроби одна седьмая
Это задача на номер цифры в периоде.
Задача.
Найдите \(50\)-ю цифру после запятой в записи \(\frac17=0.\overline{142857}\).
Решение.
Так как \(50\equiv2\pmod6\), нужна вторая цифра периода \(142857\), то есть \(4\).
Задачи
Задачи
Пока нет опубликованных задач.
Лестницы
Опубликованных лестниц пока нет.