Задача
ALG-B1-M02-P013 Когда кубическое выражение равно нулю
#13
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a+b+c>0\) и \(a^3+b^3+c^3=3abc\). Докажите, что \(a=b=c\).
Разложите \(a^3+b^3+c^3-3abc\) и используйте сумму квадратов.
Из условия \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\). По тождеству это равно \((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\).
Так как \(a+b+c>0\), второй множитель равен нулю. Но \(2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\). Значит, \(a=b=c\).
Задача связывает факторизацию и случай равенства.