Задача
ALG-B1-M07-P018 Три обратные линейные формы
#18
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c>0\) и \(a+b+c=3\). Докажите \[\frac{1}{3+a}+\frac{1}{3+b}+\frac{1}{3+c}\ge\frac{3}{4}.\]
Используйте Коши: \(\sum \frac{1^2}{3+a}\ge\frac{9}{(3+a)+(3+b)+(3+c)}\).
По Коши левая часть не меньше \(\frac{(1+1+1)^2}{(3+a)+(3+b)+(3+c)}=\frac{9}{9+a+b+c}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\). Равенство при \(a=b=c=1\).
Хорошая задача на распознавание суммы знаменателей.