Задача
ALG-B2-M01-P017 Пятая и третья степени
Пусть \(x,y>0\) и \(x^5-y^3\ge4x\). Докажите, что \(x^3\ge\sqrt[3]{16}\,y\).
Подсказка 1. Возведите требуемое неравенство к сравнению кубов.
Подсказка 2. Достаточно доказать \(x^9\ge16x^5-64x\).
Требуется доказать \(x^9\ge16y^3\). Из условия \(y^3\le x^5-4x\), значит достаточно показать \(x^9\ge16x^5-64x\). Но \[x^9-16x^5+64x=x(x^4-8)^2\ge0,\] так как \(x>0\). Следовательно, \(x^9\ge16y^3\), а значит \(x^3\ge\sqrt[3]{16}\,y\).
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: требуется подобрать степень и увидеть квадрат после переноса.
G. Почему это не одноходовая задача. Прямая монотонность степеней не даёт нужной константы.