Задача
ALG-B2-M01-P019 Шестые степени и знак
Ненулевые \(x,y\) удовлетворяют \(x^6-y^6>x\) и \(y^6-x^6>y\). Докажите, что \(xy>0\).
Подсказка 1. Сложите два неравенства.
Подсказка 2. Если \(xy<0\), выберите положительное число и получите противоречие.
Сложение даёт \(x+y<0\). Предположим, что \(xy<0\). Без ограничения общности \(x>0\), \(y<0\). Тогда из \(x+y<0\) следует \(0
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: нужен выбор знака после глобального сложения двух условий.
G. Почему это не одноходовая задача. Отдельное неравенство ничего не говорит о знаке произведения.