ALG-B2-M01-P024 Натуральные значения произведений

Подсказка 1. Сначала проверьте \(p_1\).

Подсказка 2. Для примера попробуйте \(x_i=i+1\).

Число \(p_1=x_1-\frac1{x_1}\) не является натуральным: при \(x_1=1\) оно равно \(0\), а при \(x_1>1\) не является целым. Поэтому натуральных \(p_i\) не больше \(11\).

Покажем, что \(11\) достижимо. Возьмём \(x_i=i+1\). Тогда \[x_i-\frac1{x_i}=i+1-\frac1{i+1}=\frac{i(i+2)}{i+1}.\] Следовательно, \[p_i=\frac{1\cdot3}{2}\cdot\frac{2\cdot4}{3}\cdots\frac{i(i+2)}{i+1}=\frac{i!(i+2)}2.\] При \(i\ge2\) это натуральное число. Значит, среди \(p_1,\ldots,p_{12}\) может быть \(11\) натуральных чисел, и больше нельзя.

A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.

F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: надо одновременно дать верхнюю оценку и конструкцию.

G. Почему это не одноходовая задача. Ответ не следует из одного примера; нужно доказать, что \(p_1\) никогда не подходит.