Задача
ALG-B2-M02-P010 Три сдвига
#10
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c>0\) и \(abc=1\). Докажите \((1+a)(1+b)(1+c)\ge8\).
Подсказка 1. Оцените каждую скобку отдельно.
Подсказка 2. Используйте \(1+a\ge2\sqrt a\).
По AM-GM, \(1+a\ge2\sqrt a\), \(1+b\ge2\sqrt b\), \(1+c\ge2\sqrt c\). Перемножая, получаем \((1+a)(1+b)(1+c)\ge8\sqrt{abc}=8\). Равенство при \(a=b=c=1\).
Учебная задача модуля AM-GM. Методические теги: am-gm, equality-case, fixed-product.