Задача
ALG-B2-M02-P025 Три сдвинутые скобки
Числа \(a,b,c>1\) удовлетворяют \[\left(a-\frac1b\right)\left(b-\frac1c\right)\left(c-\frac1a\right)=1.\] Докажите \[\left(a-\frac1a\right)^2+\left(b-\frac1b\right)^2+\left(c-\frac1c\right)^2\ge\frac ba+\frac cb+\frac ac.\]
Подсказка 1. Домножьте три скобки на \(\frac ba\), \(\frac cb\), \(\frac ac\).
Подсказка 2. Получите новое произведение, равное \(1\), и примените AM-GM к квадратам.
Из условия после домножения скобок на \(\frac ba,\frac cb,\frac ac\) получаем \[\left(b-\frac1a\right)\left(c-\frac1b\right)\left(a-\frac1c\right)=1.\] Все три множителя положительны. По AM-GM \[\left(b-\frac1a\right)^2+\left(c-\frac1b\right)^2+\left(a-\frac1c\right)^2\ge3.\] Раскрывая скобки, получаем \[a^2+b^2+c^2+\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\ge3+2\left(\frac ba+\frac cb+\frac ac\right).\] Кроме того, \(\frac ba+\frac cb+\frac ac\ge3\). Поэтому правая часть не меньше \(6+\frac ba+\frac cb+\frac ac\). Но раскрытие левой части требуемого неравенства даёт \(a^2+b^2+c^2+\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}-6\). Следовательно, требуемое неравенство доказано.
A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.
B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.
C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.
E. Полное решение. Дано в поле solution.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: два AM-GM-применения и предварительное циклическое домножение.
G. Почему это не одноходовая задача. Исходное произведение не совпадает с тем, которое нужно для квадратов; его надо повернуть циклически.