Задача
ALG-B2-M03-P005 Циклические знаменатели
#5
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите при \(x,y,z>0\): \[\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}.\]
Подсказка 1. Примените Engel form сразу.
Подсказка 2. Сумма знаменателей равна \(2(x+y+z)\).
По Cauchy, \[\sum\frac{x^2}{x+y}\ge\frac{(x+y+z)^2}{(x+y)+(y+z)+(z+x)}=\frac{x+y+z}{2}.\]
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, cyclic-sum.