Задача
ALG-B2-M03-P010 Однородная дробная сумма
#10
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+ca+a^2}\ge\frac12.\]
Подсказка 1. Примените Engel form к числителям \(a,b,c\).
Подсказка 2. Сравните сумму знаменателей с \(2(a+b+c)^2\).
По Cauchy левая часть не меньше \[\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}.\] Поскольку \(2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca\le2(a+b+c)^2\), получаем нижнюю оценку \(\frac12\).
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, homogeneous.