Задача
ALG-B2-M06-P020 Schur degree 4 при фиксированной сумме
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\) и \(a+b+c=3\). Докажите \[a^4+b^4+c^4+3abc\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^3b.\]
Подсказка. Это Schur degree \(4\) с \(p=3\).
Общее Schur degree \(4\) имеет вид \(\sum a^4+abc(a+b+c)\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^3b\). При условии \(a+b+c=3\) получаем \(abc(a+b+c)=3abc\). Поэтому требуемое является прямым следствием Schur degree \(4\).
Итоговая задача модуля: распознать общую форму внутри нормированного условия.