Задача
ALG-B2-M07-P020 Выберите нормировку
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c>0\). Докажите \[\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}\ge4.\]
Подсказка. Нормируйте \(abc=1\), затем используйте \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) и \(ab+bc+ca\ge3\).
Выражение степени \(0\), поэтому нормируем \(abc=1\). Тогда \(\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1\). Получаем \[\frac{\sum a^2}{q}+q.\] Здесь \(\sum a^2\ge q\), значит первая дробь не меньше \(1\). Кроме того, \(q=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\). Поэтому вся сумма не меньше \(1+3=4\).
Итоговая задача: нужно выбрать нормировку и соединить две базовые оценки.