Задача
ALG-B2-M09-P020 Оценка через отклонения
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\ge6abc.\]
Подсказка. Левая часть равна \(9-(ab+bc+ca)\). Используйте \(ab+bc+ca\le3\) и \(abc\le1\).
Так как \(a+b+c=3\), \(\sum a^2+ab+bc+ca=(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)=9-q\). Нам нужно \(9-q\ge6r\). По \(q\le3\) левая часть не меньше \(6\), а по AM-GM \(r=abc\le1\), значит \(6r\le6\). Следовательно, \(9-q\ge6\ge6r\). Равенство при \(a=b=c=1\).
Смешанная задача: две разные оценки должны встретиться в одном equality case.