Задача
ALG-B3-M03-P020 Семейство или единственный ответ
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)-2\). Опишите все решения. Затем добавьте условие, что \(f\) неубывает, и найдите все решения при дополнительном условии \(f(1)=5\).
Подсказка. Сначала положите \(A(x)=f(x)-2\).
Пусть \(A(x)=f(x)-2\). Тогда \(A(x+y)=A(x)+A(y)\). Без дополнительных условий все решения имеют вид \(f(x)=A(x)+2\), где \(A\) произвольная аддитивная функция. Если \(f\) неубывает, то и \(A\) неубывает, значит \(A(x)=cx\). Условие \(f(1)=5\) даёт \(c+2=5\), то есть \(c=3\). Тогда \(f(x)=3x+2\).
Цель: показать, какие условия действительно заставляют функцию быть линейной или аффинной.