Задача
ALG-B3-M06-P020 Функциональное уравнение по модулю
Пусть \(p\) - нечётное простое и \(f:\mathbb Z/p\mathbb Z\to\mathbb Z/p\mathbb Z\) удовлетворяет \(f(x+f(y))=f(x)+y\) для всех остатков \(x,y\). Найдите \(f\).
Повторите цепочку: инъективность, \(f(0)=0\), аддитивность.
При \(x=0\): \(f(f(y))=f(0)+y\). Если \(f(a)=f(b)\), то \(f(f(a))=f(f(b))\), значит \(a=b\); функция инъективна. На конечном множестве она биективна. При \(y=0\): \(f(x+f(0))=f(x)\), поэтому \(f(0)=0\). Тогда \(f(f(y))=y\).
Подставим \(y=f(t)\): \(f(x+t)=f(x)+f(t)\). Значит, \(f\) аддитивна на \(\mathbb Z/p\mathbb Z\), поэтому \(f(x)=ax\). Из \(f(f(x))=x\) следует \(a^2\equiv1\pmod p\). Так как \(p\) нечётное простое, \(a\equiv1\) или \(a\equiv-1\). Ответ: \(f(x)=x\) и \(f(x)=-x\) по модулю \(p\).
Финальная задача stage: дискретная версия метода инъективности-сюръективности.