Задача
ALG-B3-M10-P018 Jensen плюс инволюция
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все непрерывные \(f\), такие что \(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\) и \(f(f(x))=x\).
Первое условие делает \(f\) аффинной.
Из первого условия \(f(x)=ax+b\). Тогда \(f(f(x))=a^2x+b(a+1)\). Получаем \(a^2=1\), \(b(a+1)=0\). Ответ: \(f(x)=x\) и \(f(x)=-x+b\), где \(b\in\mathbb R\).
Система Jensen плюс итерация.