Задача
ALG-B3-M10-P020 Полная параметрическая проверка
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все пары \((a,f)\), где \(f\) непрерывна, \(f(x+y)=f(x)+f(y)+a xy\), и \(f(f(x))=x+a\).
Если \(a\ne0\), сравните степень композиции. Если \(a=0\), решите линейный случай.
По первому условию \(f(x)=\frac a2x^2+cx\). Если \(a\ne0\), то \(f\) квадратична, и \(f(f(x))\) имеет степень \(4\), тогда как \(x+a\) имеет степень \(1\). Значит, \(a=0\). Тогда \(f(x)=cx\), а условие становится \(c^2x=x\). Следовательно, \(c^2=1\). Ответ: \(a=0\), \(f(x)=x\) или \(f(x)=-x\).
Финальная задача модуля: структура, параметр, композиция, проверка.