Задача
COM-B1-M11-P024 Сумма делится на \(20\)
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что среди любых \(20\) целых чисел можно выбрать несколько подряд идущих в данном порядке чисел так, что их сумма делится на \(20\).
Рассмотрите частичные суммы по модулю \(20\).
Пусть числа равны \(a_1,\ldots,a_{20}\). Рассмотрим частичные суммы \(S_k=a_1+\cdots+a_k\) для \(k=1,\ldots,20\). Если какая-то \(S_k\) делится на \(20\), то подходит отрезок \(a_1,\ldots,a_k\). Если ни одна не делится на \(20\), то \(20\) частичных сумм имеют только \(19\) ненулевых остатков по модулю \(20\). Значит две из них, \(S_i\) и \(S_j\) при \(i
Сильная смешанная задача: Дирихле плюс частичные суммы.