Задача
COM-B2-M02-P016 Запреты в ладейной форме
Сколько перестановок \(\pi\) чисел \(1,\ldots,5\) удовлетворяют условиям \(\pi(1)\ne1\), \(\pi(1)\ne2\), \(\pi(2)\ne1\)?
Запрещённые клетки: \((1,1),(1,2),(2,1)\). Учтите, какие пары запретов совместимы.
Всего \(5!=120\). Одно нарушение фиксирует одну клетку, даёт \(4!\) перестановки; таких нарушений \(3\), вычитаем \(72\). Два нарушения совместимы только для пар \((1,2)\) с \((2,1)\) и \((1,1)\) с? Условия \((1,1)\) и \((1,2)\) несовместимы, потому что \(\pi(1)\) не может быть сразу \(1\) и \(2\). Условия \((1,1)\) и \((2,1)\) тоже несовместимы, потому что два значения не могут попасть в \(1\). Совместима только пара \((1,2),(2,1)\), она даёт \(3!\) перестановок. Тройное нарушение невозможно. Ответ: \(120-3\cdot24+6=54\).
Показывает, что не всегда пересечения имеют одинаковый размер.