Задача
COM-B2-M05-P010 Углы прямоугольника
На доске \(6\times6\) все клетки белые. За ход выбирают прямоугольник со сторонами по линиям сетки и меняют цвет четырёх его угловых клеток. Докажите, что нельзя получить положение с ровно одной чёрной клеткой.
Каждый ход меняет чётность числа чёрных клеток в каждой затронутой строке и каждом затронутом столбце дважды.
Рассмотрим чётность числа чёрных клеток в каждой строке. Один ход затрагивает две клетки в одной выбранной строке и две клетки в другой выбранной строке. Значит, чётность числа чёрных клеток в каждой строке сохраняется. Аналогично сохраняется чётность в каждом столбце.
В начале во всех строках и столбцах чётность равна \(0\). Если есть ровно одна чёрная клетка, то её строка и её столбец имеют нечётную чётность. Это невозможно.
Важный шаблон: инвариант не один, а целое семейство инвариантов по строкам и столбцам.