Задача
COM-B2-M05-P019 Чётность на шахматной доске
На доске \(14\times18\), раскрашенной в шахматном порядке, отмечены некоторые клетки. В каждой строке и в каждом столбце отмечено нечётное число клеток. Докажите, что число отмеченных белых клеток чётно.
Используйте координаты клетки и считайте по модулю \(2\).
Нумеруем строки \(1,\ldots,14\), столбцы \(1,\ldots,18\). Пусть белыми считаются клетки, для которых \(i+j\) чётно. Обозначим через \(x_{ij}\) индикатор отмеченности клетки.
Число отмеченных белых клеток по модулю \(2\) равно
\[\sum_{i,j}(1+i+j)x_{ij}.\]
Раскрывая сумму по модулю \(2\), получаем
\[\sum_{i,j}x_{ij}+\sum_i i\sum_j x_{ij}+\sum_j j\sum_i x_{ij}.\]
Общее число отмеченных клеток имеет чётность \(14\), потому что в каждой из \(14\) строк отмечено нечётное число клеток; значит, этот вклад равен \(0\). Строчные и столбцовые суммы отметок нечётны, поэтому остаётся
\[\sum_{i=1}^{14}i+\sum_{j=1}^{18}j=105+171=276\equiv0\pmod2.\]
Следовательно, отмеченных белых клеток чётное число.
Более сильная версия предыдущей задачи: меняется цвет, размер и формула.