Задача
GEO-B1-M02-P028 Внешняя биссектриса и середина
В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) лежит на внешней биссектрисе угла \(B\) и внутри угла \(A\). Известно, что \(\angle BCD=60^\circ\) и \(CD=2AB\). Точка \(M\) — середина отрезка \(BD\). Докажите, что \(AM=CM\).
C. Подсказка 1. Опустите из \(D\) перпендикуляр на прямую \(BC\).
D. Подсказка 2. Используйте медиану к гипотенузе в прямоугольном треугольнике \(BHD\).
E. Подробное решение.
Пусть \(H\) — основание перпендикуляра из \(D\) на \(BC\). Так как \(\angle BCD=60^\circ\), прямоугольный треугольник \(DCH\) имеет угол \(60^\circ\) при \(C\). Поэтому \(CH=\frac{CD}{2}=AB\).
Обозначим \(\angle CBM=\alpha\). Поскольку \(BD\) — внешняя биссектриса угла \(B\), угол между \(BA\) и \(BM\) равен \(180^\circ-\alpha\).
В прямоугольном треугольнике \(BHD\) точка \(M\) — середина гипотенузы \(BD\). Значит, \(MH=MB\). Поэтому \(\angle MHB=\angle HBM=\alpha\), а значит \(\angle MHC=180^\circ-\alpha\).
Теперь сравним треугольники \(ABM\) и \(CHM\). Имеем \(AB=CH\), \(BM=HM\), а углы между этими сторонами равны: \(\angle ABM=180^\circ-\alpha=\angle CHM\). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников получаем \(AM=CM\).
A. Анализ источника. Основные объекты: внешняя биссектриса, середина отрезка, прямоугольный треугольник с углом \(60^\circ\). Очевидный подход — пытаться сразу сравнить \(AM\) и \(CM\), но скрытая сторона \(CH=AB\) появляется только после опускания перпендикуляра. Ключевых идей: 3.
F. Обоснование сложности. Это уровень 7: региональная задача с неочевидным перпендикуляром и последующим равенством треугольников.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: сначала строится \(H\), затем используется медиана к гипотенузе, и только после этого появляется SAS.