Задача
GEO-B1-M05-P023 Две окружности в высотах
В остроугольном треугольнике \(ABC\) высоты \(BD\) и \(CE\) пересекаются в точке \(H\), где \(D\in AC\), \(E\in AB\). Докажите, что точки \(A,D,H,E\) лежат на одной окружности, и точки \(B,C,D,E\) тоже лежат на одной окружности.
Найдите две пары прямых углов.
Так как \(BD\perp AC\), то \(\angle ADH=90^\circ\). Так как \(CE\perp AB\), то \(\angle AEH=90^\circ\). Значит точки \(D\) и \(E\) видят отрезок \(AH\) под прямым углом, поэтому \(A,D,H,E\) лежат на окружности с диаметром \(AH\). Кроме того, \(\angle BDC=90^\circ\) и \(\angle BEC=90^\circ\), значит \(D\) и \(E\) видят отрезок \(BC\) под прямым углом. Следовательно, \(B,C,D,E\) лежат на окружности с диаметром \(BC\).
Сильный тренировочный пример: одна конфигурация даёт две разные окружности.