Задача
GEO-B2-M01-P085 Угол между двумя окружностями
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\). На \(\omega_1\) выбрана точка \(C\), а на \(\omega_2\) — точка \(D\), причём \(C\) и \(D\) лежат по одну сторону от прямой \(AB\). Известно, что \(\angle ACB=83^\circ\), \(\angle ADB=50^\circ\). Найдите острый угол между окружностями \(\omega_1\) и \(\omega_2\) в точке \(A\).
C. Подсказка 1. Угол между окружностями — это угол между касательными в общей точке.
D. Подсказка 2. Замените каждый угол между касательной и \(AB\) вписанным углом, опирающимся на хорду \(AB\).
E. Подробное решение. Проведём в точке \(A\) касательные \(t_1\) и \(t_2\) к окружностям \(\omega_1\) и \(\omega_2\). Искомый угол равен острому углу между \(t_1\) и \(t_2\).
По теореме о касательной и хорде угол между \(t_1\) и \(AB\) равен вписанному углу \(\angle ACB=83^\circ\). Аналогично угол между \(t_2\) и \(AB\) равен \(\angle ADB=50^\circ\).
Так как точки \(C\) и \(D\) лежат по одну сторону от \(AB\), соответствующие касательные рассматриваются с одной стороны от прямой \(AB\). Поэтому острый угол между окружностями равен разности этих углов: \(83^\circ-50^\circ=33^\circ\).
Комментарий к методу. угол между окружностями равен углу между касательными, а каждую касательную можно заменить вписанным углом Поэтому решение устроено не как перебор всех углов на рисунке, а как выбор нужной окружности или касательной, после которого углы начинают сравниваться по одной и той же хорде или по одной и той же прямой.
Если пропустить вспомогательный шаг, задача выглядит почти произвольной: равные углы находятся в разных частях чертежа. Именно поэтому сначала выделяется скрытая конфигурация, затем выполняется угловая замена, и только в конце делается требуемый вывод.
F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональная задача среднего типа. Один прямой перебор углов быстро перегружает рисунок, поэтому нужно увидеть скрытую окружность или заменить угол через касательную; после этого остаётся короткая цепочка равенств.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: требуются 3 ключевые идеи. Сначала нужно распознать скрытую геометрическую структуру, затем сделать угловую замену или добавить окружность, и только после этого выполнить заключительный вывод.