Задача
GEO-B2-M01-P098 Ортоцентр и окружность с диаметром
В остроугольном треугольнике \(ABC\) ортоцентр равен \(H\). Точки \(D\) и \(E\) — основания высот из \(B\) и \(C\) соответственно. Известно, что \(\angle BAC=58^\circ\). Докажите, что \(A,D,H,E\) лежат на одной окружности, и найдите \(\angle DHE\).
C. Подсказка 1. Найдите два прямых угла, которые опираются на один и тот же отрезок.
D. Подсказка 2. Введите окружность с диаметром \(AH\) и сравните углы, опирающиеся на хорду \(DE\).
E. Подробное решение. Так как \(D\) — основание высоты из \(B\), то \(BD\perp AC\). Точка \(H\) лежит на этой высоте, а \(A,D,C\) коллинеарны, значит, \(DH\perp AD\), то есть \(\angle ADH=90^\circ\).
Аналогично \(E\) — основание высоты из \(C\), поэтому \(EH\perp AE\) и \(\angle AEH=90^\circ\).
Получили, что и \(D\), и \(E\) видят отрезок \(AH\) под прямым углом. Следовательно, \(D\) и \(E\) лежат на окружности с диаметром \(AH\). Значит, \(A,D,H,E\) соокружны.
На этой окружности углы \(\angle DHE\) и \(\angle DAE\) опираются на одну хорду \(DE\). Поэтому \(\angle DHE=\angle DAE=\angle BAC=58^\circ\).
Комментарий к методу. точки \(D\) и \(E\) видят отрезок \(AH\) под прямым углом, значит, их надо посадить на одну окружность Поэтому решение устроено не как перебор всех углов на рисунке, а как выбор нужной окружности или касательной, после которого углы начинают сравниваться по одной и той же хорде или по одной и той же прямой.
Если пропустить вспомогательный шаг, задача выглядит почти произвольной: равные углы находятся в разных частях чертежа. Именно поэтому сначала выделяется скрытая конфигурация, затем выполняется угловая замена, и только в конце делается требуемый вывод.
F. Обоснование сложности. Это уровень 7: сильная региональная задача. В ней есть не только равные углы, но и выбор вспомогательной конфигурации: окружность, точка Микеля, ортотреугольник или касательная. Без этого первого выбора решение не начинается.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: требуются 3 ключевые идеи. Сначала нужно распознать скрытую геометрическую структуру, затем сделать угловую замену или добавить окружность, и только после этого выполнить заключительный вывод.