GEO-B2-M01-P103 Касательная и направленное отношение

C. Подсказка 1. Угол между касательной и \(AB\) замените углом \(ACB\).

D. Подсказка 2. После теоремы синусов появится квадрат отношения \(AB:AC\).

E. Подробное решение. По теореме о касательной и хорде \(\angle TAB=\angle ACB\), а \(\angle TAC=\angle ABC\). Эти две замены являются главным шагом задачи.

Применим теорему синусов в треугольниках \(TAB\) и \(TAC\). Учитывая, что углы при точке \(T\) дополняют друг друга до \(180^\circ\) как углы с прямой \(BC\), после деления соответствующих равенств получаем \(\frac{TB}{TC}=\frac{\sin^2\angle ACB}{\sin^2\angle ABC}\).

В треугольнике \(ABC\) по теореме синусов \(\frac{AB}{AC}=\frac{\sin\angle ACB}{\sin\angle ABC}\). Поэтому \(\frac{TB}{TC}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{169}{144}\). Следовательно, \(TB:TC=169:144\) в направленных отрезках.

Комментарий к методу. касательная заменяет углы при \(T\) на углы исходного треугольника, после чего работает теорема синусов Поэтому решение устроено не как перебор всех углов на рисунке, а как выбор нужной окружности или касательной, после которого углы начинают сравниваться по одной и той же хорде или по одной и той же прямой.

Если пропустить вспомогательный шаг, задача выглядит почти произвольной: равные углы находятся в разных частях чертежа. Именно поэтому сначала выделяется скрытая конфигурация, затем выполняется угловая замена, и только в конце делается требуемый вывод.

F. Обоснование сложности. Это уровень 7: сильная региональная задача. В ней есть не только равные углы, но и выбор вспомогательной конфигурации: окружность, точка Микеля, ортотреугольник или касательная. Без этого первого выбора решение не начинается.

G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: требуются 4 ключевые идеи. Сначала нужно распознать скрытую геометрическую структуру, затем сделать угловую замену или добавить окружность, и только после этого выполнить заключительный вывод.