Задача
GEO-B2-M01-P124 Точка Микеля без подсказки
В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(54^\circ\). Точка \(D\) лежит на стороне \(AB\), точка \(E\) — на стороне \(AC\), причём \(AD:DB=2:3\) и \(AE:EC=7:9\). Прямые \(BE\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\). Окружности \((BDP)\) и \((CEP)\) вторично пересекаются в точке \(M\). Докажите, что \(A,B,E,M\) лежат на одной окружности, и найдите \(\angle BME\).
C. Подсказка 1. Данные отношения задают положение точек, но основной ход — угловой.
D. Подсказка 2. Разложите \(\angle BME\) как сумму \(\angle BMP+\angle PME\).
E. Подробное решение. Так как точки \(B,D,P,M\) лежат на одной окружности, то \(\angle BMP=\angle BDP\): оба угла опираются на хорду \(BP\).
Точки \(B,D,A\) коллинеарны, а точки \(D,P,C\) коллинеарны. Значит, \(\angle BDP\) равен ориентированному углу между прямыми \(AB\) и \(CD\).
Аналогично из цикличности \(C,E,P,M\) получаем \(\angle PME=\angle PCE\). Но \(P,C,D\) коллинеарны и \(C,E,A\) коллинеарны, поэтому \(\angle PCE\) равен ориентированному углу между \(CD\) и \(AC\).
Складывая эти два угла, получаем, что \(\angle BME\) равен углу между \(AB\) и \(AC\), то есть \(\angle BAC=54^\circ\).
Но \(\angle BAE=\angle BAC\), так как \(E\in AC\). Поэтому \(\angle BME=\angle BAE\). По обратному признаку вписанных углов точки \(A,B,E,M\) лежат на одной окружности.
Комментарий к методу. вторая точка пересечения двух окружностей является точкой Микеля и должна попасть ещё на окружность через \(A,B,E\) Поэтому решение устроено не как перебор всех углов на рисунке, а как выбор нужной окружности или касательной, после которого углы начинают сравниваться по одной и той же хорде или по одной и той же прямой.
Если пропустить вспомогательный шаг, задача выглядит почти произвольной: равные углы находятся в разных частях чертежа. Именно поэтому сначала выделяется скрытая конфигурация, затем выполняется угловая замена, и только в конце делается требуемый вывод.
F. Обоснование сложности. Это уровень 7: сильная региональная задача. В ней есть не только равные углы, но и выбор вспомогательной конфигурации: окружность, точка Микеля, ортотреугольник или касательная. Без этого первого выбора решение не начинается.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: требуются 4 ключевые идеи. Сначала нужно распознать скрытую геометрическую структуру, затем сделать угловую замену или добавить окружность, и только после этого выполнить заключительный вывод.