Задача
GEO-B2-M02-P024 Общая хорда как линия равных степеней
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Две окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Точка \(P\) лежит на прямой \(AB\) вне обеих окружностей. Прямая через \(P\) пересекает первую окружность в \(C,D\), а вторую — в \(E,F\). Докажите, что \(PC\cdot PD=PE\cdot PF\).
Так как \(P\) лежит на общей хорде \(AB\), его степени относительно двух окружностей равны.
Для первой окружности степень точки \(P\) равна \(PC\cdot PD\). Для второй окружности она равна \(PE\cdot PF\). Но \(P\) лежит на прямой \(AB\), а \(A\) и \(B\) — общие точки окружностей. Поэтому обе степени также равны одному и тому же произведению \(PA\cdot PB\). Следовательно, \(PC\cdot PD=PE\cdot PF\).
Финальная задача связывает степень точки и будущую радикальную ось, но остаётся в рамках этого модуля.