Задача
GEO-B3-M01-P014 Окружность, равнонаклонённая к двум окружностям
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Постройте окружность, проходящую через \(A\), которая пересекает \(\omega_1\) и \(\omega_2\) под равными углами. Обоснуйте, почему таких окружностей обычно две.
Подсказка 1. Инвертируйте с центром \(A\).
Подсказка 2. Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) станут двумя прямыми через \(B^*\).
E. Подробное решение. Сделаем произвольную инверсию с центром \(A\). Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\), проходящие через центр инверсии, перейдут в две прямые \(l_1\) и \(l_2\), пересекающиеся в точке \(B^*\). Искомая окружность тоже проходит через \(A\), поэтому её образ — прямая \(m\). Угол пересечения окружностей сохраняется при инверсии, значит, условие равных углов превращается в условие: прямая \(m\) образует равные углы с \(l_1\) и \(l_2\). Следовательно, \(m\) должна быть одной из двух биссектрис углов, образованных \(l_1\) и \(l_2\). Инвертируя эти две биссектрисы обратно, получаем две искомые окружности через \(A\).
Эта задача хороша тем, что после инверсии сложная окружность становится простой биссектрисой угла между двумя прямыми.