Задача
GEO-B3-M01-P026 Поризм между двумя окружностями
Две непересекающиеся окружности \(R_1\) и \(R_2\) имеют замкнутую цепочку из \(n\) окружностей, касающихся обеих данных окружностей и соседей по цепочке. Докажите, что начальную окружность цепочки можно выбрать произвольно среди окружностей, касающихся \(R_1\) и \(R_2\) тем же образом: после \(n\) шагов цепочка снова замкнётся.
C. Подсказка 1. Переведите данные окружности в концентрические.
D. Подсказка 2. В концентрической модели шаг цепочки — поворот на фиксированный угол.
E. Подробное решение. Существует инверсия, возможно с последующей гомотетией, переводящая \(R_1\) и \(R_2\) в концентрические окружности. Касания при этом сохраняются. Между двумя концентрическими окружностями все окружности, касающиеся обеих, равны; их центры лежат на окружности, концентрической данным. Если одна замкнутая цепочка из \(n\) окружностей существует, то переход от центра одной окружности цепочки к центру следующей есть поворот на некоторый фиксированный угол \(\varphi\), причём \(n\varphi=360^\circ\). Поэтому, начав с любого другого положения первой окружности, мы можем повторять тот же поворот; через \(n\) шагов получим полный оборот и вернёмся к началу. Обратное преобразование даёт требуемую цепочку для исходных окружностей.
Это задача уровня финала: главный шаг — не вычисление, а распознавание модели, где вся конфигурация управляется вращением.