Задача
GEO-B3-M03-P018 Вневписанная окружность и скрытая прямая
B. Новая оригинальная задача. Вневписанная окружность треугольника \(ABC\), противоположная вершине \(A\), касается \(BC\) в \(D\), а продолжений \(AB\) и \(AC\) - в \(E\) и \(F\). Пусть \(T=BF\cap CE\). Докажите, что точки \(A,D,T\) лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Рассмотрите вырожденный описанный шестиугольник, стороны которого касаются одной окружности.
D. Подсказка 2. Примените Брианшона к подходящему порядку касательных.
E. Полное решение.
Стороны \(AB\), \(AC\), \(BC\) и их продолжения являются касательными к одной вневписанной окружности. Рассмотрим вырожденный описанный шестиугольник, в котором некоторые соседние стороны лежат на тех же прямых \(AB\), \(AC\), \(BC\), а точки касания соответствуют \(E,F,D\).
По теореме Брианшона три диагонали такого описанного шестиугольника конкурентны. Две из этих диагоналей дают прямые, пересекающиеся в \(T=BF\cap CE\), а третья является прямой \(AD\). Следовательно, \(T\in AD\).
Это сильная задача на умение видеть Брианшона в треугольной конфигурации.