Задача
GEO-B3-M05-P024 Точка Штейнера и диаметр Брокара
Пусть \(A_1B_1C_1\) — треугольник Брокара треугольника \(ABC\), а \(S\) — точка пересечения прямых, проведённых через \(A,B,C\) соответственно параллельно \(B_1C_1,C_1A_1,A_1B_1\). Докажите, что \(S\) лежит на описанной окружности \(ABC\), а прямая Симсона точки \(S\) параллельна диаметру Брокара \(OK\).
C. Подсказка 1. Используйте, что треугольник Брокара связан с окружностью подобия.
D. Подсказка 2. Для направления прямой Симсона примените результат о соответствующих направлениях.
Вершины треугольника Брокара являются постоянными точками трёх подобных фигур, построенных на сторонах \(BC,CA,AB\). Поэтому прямые через \(A,B,C\), параллельные противоположным сторонам \(A_1B_1C_1\), являются соответственными прямыми этих фигур. По свойству окружности подобия их точка пересечения \(S\) лежит на окружности подобия соответствующих направлений; в данной конфигурации это описанная окружность \(ABC\).
Теперь \(S\) лежит на описанной окружности, значит имеет прямую Симсона. Направление этой прямой определяется теми же соответствующими прямыми, а фиксированное направление в окружности подобия задаёт диаметр \(OK\). Поэтому прямая Симсона точки \(S\) параллельна диаметру Брокара \(OK\).
Это задача-связка между модулем 4 и текущим модулем.