Задача
GEO-B3-M06-P014 Кипертовы прямые
На сторонах \(BC,CA,AB\) внешним образом построены подобные равнобедренные треугольники с одинаковым углом \(\varphi\) при вершине вне стороны. Докажите, что прямые из \(A,B,C\) к соответствующим внешним вершинам конкурентны.
C. Подсказка 1. Найдите пару углов, которые первая такая прямая образует со сторонами угла \(A\).
D. Подсказка 2. В trig Ceva получится телескопическое произведение.
Пусть внешняя вершина на стороне \(BC\) равна \(A_1\). Из подобия построенных равнобедренных треугольников следует, что направление \(AA_1\) задаёт при вершине \(A\) углы, которые выражаются через \(B,C,\varphi\): отношение синусов равно \(\frac{\sin(B+\psi)}{\sin(C+\psi)}\), где \(\psi\) зависит только от \(\varphi\).
Циклически получаем три множителя: \[ \frac{\sin(B+\psi)}{\sin(C+\psi)} \frac{\sin(C+\psi)}{\sin(A+\psi)} \frac{\sin(A+\psi)}{\sin(B+\psi)}=1. \] По trig Ceva прямые конкурентны.
Это подготовка к точкам Киперта и кубикам; здесь нужна только тригонометрическая конкуренция.