Задача
NT-B1-M04-P022 Делимость \(3n+2\)
#22
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все положительные \(n\), для которых \(3n+2\mid n^2+5n+9\).
Заставьте \(3n+2\) делить константу.
Если \(3n+2\mid n^2+5n+9\), то он делит \(9(n^2+5n+9)=9n^2+45n+81\). Вычтем \((3n+2)^2=9n^2+12n+4\): получим, что \(3n+2\mid33n+77\). Теперь \(3(33n+77)-33(3n+2)=165\), значит, \(3n+2\mid165\). Положительные делители \(165\), сравнимые с \(2\) по модулю \(3\): \(5\) и \(11\). Поэтому \(3n+2=5\) или \(11\), откуда \(n=1\) или \(3\). Проверка показывает, что оба подходят.
Сильная задача: нужно самому построить линейную комбинацию.