Задача
NT-B1-M04-P024 Смешанная система
Найдите все \(x\pmod{420}\), удовлетворяющие условиям \(x\equiv1\pmod4\), \(x\equiv2\pmod5\), \(x\equiv3\pmod7\), \(6x\equiv12\pmod9\).
Сначала решите последнее линейное сравнение.
Сравнение \(6x\equiv12\pmod9\) сокращаем на \(3\): \(2x\equiv4\pmod3\), то есть \(-x\equiv1\pmod3\), значит, \(x\equiv2\pmod3\). Теперь решаем систему по взаимно простым модулям \(3,4,5,7\): \(x\equiv2\pmod3\), \(x\equiv1\pmod4\), \(x\equiv2\pmod5\), \(x\equiv3\pmod7\).
Совмещаем \(x\equiv1\pmod4\) и \(x\equiv2\pmod5\): получаем \(x\equiv17\pmod{20}\). Это число уже дает \(17\equiv2\pmod3\) и \(17\equiv3\pmod7\). Так как модули \(3,4,5,7\) взаимно просты, ответ единственен по модулю \(420\): \(x\equiv17\pmod{420}\).
Уровень 5 для первой книги: линейное сравнение плюс система из четырех модулей.