Задача
NT-B1-M08-P023 Блок с заданными простыми делителями
#23
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что существуют \(6\) последовательных натуральных чисел, каждое из которых делится на один из чисел \(5,7,11,13,17,19\) соответственно.
Ищите \(n\), для которого \(n+i\) делится на соответствующее простое.
Нужно решить систему \(n\equiv-1\pmod5\), \(n\equiv-2\pmod7\), \(n\equiv-3\pmod{11}\), \(n\equiv-4\pmod{13}\), \(n\equiv-5\pmod{17}\), \(n\equiv-6\pmod{19}\). Модули попарно взаимно просты, поэтому по CRT решение существует. Для любого такого \(n\) числа \(n+1,\ldots,n+6\) имеют требуемые делители. Взяв достаточно большое положительное решение, получаем натуральные числа больше своих делителей.
Ученик должен увидеть, что явное число не всегда нужно.