Задача
NT-B1-M12-P014 Вариант 3. Простые делители \(a^2+1\)
#14
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть нечётное простое \(p\) делит \(a^2+1\). Докажите, что \(p\equiv1\pmod4\).
Из \(a^2\equiv-1\pmod p\) следует \(a^4\equiv1\pmod p\).
Так как \(p\mid a^2+1\), имеем \(a^2\equiv-1\pmod p\). Тогда \(a^4\equiv1\pmod p\), но \(a^2 ot\equiv1\pmod p\). Значит порядок \(a\) по модулю \(p\) равен \(4\). Порядок делит \(p-1\), следовательно, \(4\mid p-1\), то есть \(p\equiv1\pmod4\).
Сложнее среднего для книги 1, но важная идея порядка.