Задача
NT-B2-M01-P001 Постоянный остаток
#1
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите все возможные значения \( \gcd(n+4,n^2+2n+10) \), где \(n\) - натуральное число.
Замените \(n\) на \(-4\) во втором выражении по модулю \(n+4\).
Пусть \(d=\gcd(n+4,n^2+2n+10)\). По модулю \(n+4\) имеем \(n\equiv-4\), поэтому \(n^2+2n+10\equiv16-8+10=18\). Следовательно, \(d=\gcd(n+4,18)\), значит возможны только делители \(18\): \(1,2,3,6,9,18\). Каждый из них достигается: для делителя \(r\mid18\) возьмём \(n+4=r+18\). Тогда \( \gcd(n+4,18)=r \).
Хорошая вводная задача: ученик видит, что НОД параметрического выражения может иметь конечный набор значений.