Задача
NT-B2-M03-P008 Делитель \(2^m-1\)
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть нечётный простой \(p\mid2^m-1\). Докажите, что \( \operatorname{ord}_p(2)\mid \gcd(m,p-1) \).
Порядок делит и показатель, и \(p-1\).
Из \(2^m\equiv1\pmod p\) следует \( \operatorname{ord}_p(2)\mid m \). Так как \(p\) простое и \(2\not\equiv0\pmod p\), порядок также делит \(p-1\). Следовательно, он делит \(\gcd(m,p-1)\).
Эта задача часто является первым шагом в ограничении простых делителей.