Задача
NT-B2-M04-P018 Произведение обратных пар
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(p>3\) - простой. Найдите произведение всех \(x\in\{1,\ldots,p-1\}\), для которых \(x\not\equiv x^{-1}\pmod p\), по модулю \(p\).
Исключите самобратные элементы \(1\) и \(-1\).
Самобратные элементы удовлетворяют \(x^2\equiv1\pmod p\), то есть это \(1\) и \(-1\). Произведение всех ненулевых остатков равно \((p-1)!\equiv-1\pmod p\). Если убрать множители \(1\) и \(-1\), то оставшееся произведение равно \((-1)/(1\cdot(-1))\equiv1\pmod p\).
Проверяет понимание доказательства Вильсона.