Задача
NT-B2-M08-P007 Ещё одно невозможное уравнение
#7
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2+2=3xy\) не имеет решений в положительных целых числах.
Проверьте \(x=1,2\), затем сделайте прыжок Виета.
Пусть \(x\le y\) и решение минимально. Для \(x=1\) уравнение \(y^2-3y+3=0\) не имеет целых корней; для \(x=2\) получаем \(y^2-6y+6=0\), тоже нет целых корней. При \(x\ge 3\) второй корень \(y'=3x-y=\frac{x^2+2}{y}\) положителен и целый. Так как \(y\ge x\), \(y'\le x+\frac{2}{x}
Учит отдельно разбирать малые значения перед общей оценкой.