NT-B2-M08-P020 Уравнение \(x^2+y^2+3=4xy\)

Найдите базовое решение при \(x=1\), затем примените прыжок Виета.

Пусть \(x\le y\). При \(x=1\) получаем \(y^2-4y+4=0\), значит \(y=2\). При \(x=2\) получаем \(y^2-8y+7=0\), то есть \(y=1\) или \(7\); это согласуется с соседними членами будущей последовательности. При \(x=3\) дискриминант \(144-48=96\) не квадрат. Для \(x\ge 4\) второй корень равен \(y'=4x-y=\frac{x^2+3}{y}\), он положителен и целый. Так как \(y\ge x\), \(y'\le x+\frac{3}{x}

Обратный ход: если \((a,b)\) — решение, то \((b,4b-a)\) тоже решение. Начиная с \((1,2)\), получаем последовательность \(a_0=1\), \(a_1=2\), \(a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}\). Все решения: \((a_n,a_{n+1})\) и перестановки, \(n\ge 0\).

Финальная задача модуля: похожа на центральную, но базовые случаи другие.