Задача
NT-B2-M09-P016 Длинный блок составных
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что для любого \(k\) существуют \(k\) последовательных составных положительных чисел.
Можно использовать \((k+1)!+2,\ldots,(k+1)!+(k+1)\).
Пусть \(A=(k+1)!\). Тогда числа \(A+2,A+3,\ldots,A+(k+1)\) образуют \(k\) последовательных чисел. Для каждого \(j=2,\ldots,k+1\) число \(A+j\) делится на \(j\), потому что \(A\) делится на \(j\). Кроме того, \(A+j>j\), значит \(A+j\) составное. Получен нужный блок.
Факториал — частный случай CRT-конструкции, где все условия собраны автоматически.