Задача
NT-B2-M09-P020 Ложная construction-идея
Пусть \(p_1,\ldots,p_k\) — различные нечётные простые числа. Верно ли, что можно выбрать целое \(x\), которое не сравнимо с \(\pm 1\) ни по одному из модулей \(p_i\), но удовлетворяет \(x^2\equiv 1\pmod {p_1p_2\cdots p_k}\)?
Проверьте локальные решения \(u^2\equiv 1\pmod p\).
Для нечётного простого \(p\) сравнение \(u^2\equiv 1\pmod p\) имеет только решения \(u\equiv \pm 1\pmod p\), потому что \((u-1)(u+1)\equiv 0\pmod p\). Поэтому требование “не сравнимо с \(\pm 1\) ни по одному модулю \(p_i\)” несовместимо с \(x^2\equiv 1\pmod {p_i}\) для любого нечётного простого. Значит такого \(x\) не существует ни при каких \(p_i\). Ответ: утверждение неверно.
Это контрольная ловушка: CRT не отменяет локальные ограничения. Ученик должен уметь отвергать неверную construction-идею.