Задача
NT-B2-M11-P016 Период равен произведению
Найдите все несократимые правильные дроби \(\frac{a}{b}\), десятичная запись которых является бесконечным повторением десятичной записи числа \(ab\). Например, \(\frac13=0.\overline3\).
Если \(ab\) имеет \(k\) цифр, то \(0.\overline{ab}=\frac{ab}{10^k-1}\).
Пусть \(P=ab\), и пусть \(P\) имеет \(k\) цифр. Тогда \(0.\overline{P}=\frac{P}{10^k-1}=\frac{ab}{10^k-1}\). Условие даёт \(\frac{a}{b}=\frac{ab}{10^k-1}\). Так как \(a>0\), сокращаем на \(a\): \(\frac1b=\frac{b}{10^k-1}\), значит \(b^2=10^k-1\).
При \(k=1\) получаем \(b=3\). При \(k\ge2\) число \(10^k-1\equiv3\pmod4\), а квадрат не бывает сравним с \(3\pmod4\). Следовательно, \(b=3\). Так как дробь правильная и несократимая, \(a=1\) или \(a=2\). Ответ: \(\frac13\) и \(\frac23\).
Сложность здесь в правильной интерпретации фразы про период: это запись произведения, а не произведение цифр.