Практика
Решите \(x^2-6x+8=0\).
Ищите множители свободного члена.
\(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\), поэтому \(x=2\) или \(x=4\).
Найдите минимум \(x^2-2x+3\).
Выделите квадрат.
\(x^2-2x+3=(x-1)^2+2\). Минимум равен \(2\).
Докажите, что \(n^2-n\) чётно для любого целого \(n\).
Разложите на соседние множители.
\(n^2-n=n(n-1)\). Из двух соседних целых одно чётно.
\(f(0)=3\), \(f(n+1)=f(n)+1\). Найдите \(f(4)\).
Сделайте четыре шага.
\(f(4)=3+4=7\).
Найдите \(x,y\), если \(x+y=5\), \(xy=6\).
Считайте их корнями квадратного уравнения.
\(x,y\) — корни \(t^2-5t+6=0\), значит \(\{x,y\}=\{2,3\}\).
Пусть \(a+b+c=0\). Докажите \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Используйте разложение \(a^3+b^3+c^3-3abc\).
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0\).
Найдите целые корни \(x^3-3x^2-4x+12\).
Попробуйте группировку.
\(x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-2)(x+2)\). Корни \(3,2,-2\).
При \(x>0\) докажите \(x+\frac{9}{x}\ge6\).
Равенство ожидается при \(x=3\).
По AM-GM \(x+\frac{9}{x}\ge2\sqrt{9}=6\).
\(P\) степени не выше \(2\), \(P(0)=2\), \(P(1)=5\), \(P(2)=10\). Найдите \(P(3)\).
Смотрите на вторые разности.
Первые разности \(3,5\), вторая разность \(2\). Следующая первая разность \(7\), поэтому \(P(3)=17\).
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), \(f(5)=20\). Найдите \(f\left(\frac{3}{2}\right)\).
Найдите \(f(1)\).
\(5f(1)=20\), значит \(f(1)=4\). Поэтому \(f(q)=4q\), и \(f\left(\frac{3}{2}\right)=6\).
Решите систему \(x+y+xy=29\), \(x^2+y^2=41\).
Положите \(s=x+y\), \(p=xy\).
\(s+p=29\), \(s^2-2p=41\). Получаем \(s^2+2s-99=0\), откуда \(s=9\) или \(s=-11\). При \(s=9\), \(p=20\), \(\{x,y\}=\{4,5\}\); второй случай не даёт вещественных корней.
Найдите положительные целые \(x,y\), если \((x-4)(y-4)=16\).
Переберите положительные делители \(16\).
\((x-4,y-4)\) равно \((1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)\). Поэтому \((x,y)=(5,20),(6,12),(8,8),(12,6),(20,5)\).
Пусть \(x,y,z>0\). Докажите \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\).
Сложите знаменатели.
По Коши левая часть не меньше \(\frac{(x+y+z)^2}{(x+y)+(y+z)+(z+x)}=\frac{x+y+z}{2}\).
\(u_0=1\), \(u_{n+1}-u_n=2n+3\). Найдите \(u_n\).
Просуммируйте разности.
\(u_n=1+\sum_{k=0}^{n-1}(2k+3)=1+n(n-1)+3n=n^2+2n+1=(n+1)^2\).
Докажите, что \(x^2+y^2=4k+3\) невозможно в целых числах.
Работайте по модулю \(4\).
Квадраты по модулю \(4\) дают \(0\) или \(1\). Сумма двух квадратов не может дать остаток \(3\).
Многочлен \(P\) удовлетворяет \(P(x+1)-P(x)=2x+1\), \(P(0)=0\). Найдите \(P(n)\) для целых \(n\ge0\).
Просуммируйте равенства от \(0\) до \(n-1\).
\(P(n)-P(0)=\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)=n^2\). Значит, \(P(n)=n^2\).
Пусть \(a,b,c>0\), \(a+b+c=3\). Докажите \(a^2+b^2+c^2\ge3\).
Равенство ожидается при \(a=b=c=1\).
По Коши \((a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\ge(a+b+c)^2=9\). Значит, \(a^2+b^2+c^2\ge3\).
Найдите все целые решения \(x^2+y^2=2xy+16\).
Перенесите \(2xy\) влево.
\((x-y)^2=16\), значит \(x-y=\pm4\). Все решения: \((t+4,t)\) и \((t,t+4)\), где \(t\in\mathbb Z\).
Докажите, что \(x^2+y^2=7xy\) не имеет положительных целых решений.
Выберите минимальное решение и замените больший корень вторым корнем квадратного уравнения.
Пусть решение есть, \(x\ge y\), и сумма \(x+y\) минимальна. \(x=y\) невозможно. Рассмотрим \(X^2-7yX+y^2=0\). Второй корень \(x'=7y-x=\frac{y^2}{x}\) положителен, целый и меньше \(y\). Тогда \((x',y)\) — меньшее положительное решение. Противоречие.
Найдите все вещественные тройки \((a,b,c)\), если \(a+b+c=0\), \(a^2+b^2+c^2=14\), \(a^3+b^3+c^3=18\).
Найдите \(ab+bc+ca\) и \(abc\), затем составьте многочлен.
Из первых двух условий \(ab+bc+ca=-7\). По тождеству нулевой суммы \(3abc=18\), значит \(abc=6\). Тогда \(a,b,c\) — корни \(t^3-7t-6=0=(t-3)(t+1)(t+2)\). Ответ: все перестановки \((3,-1,-2)\).