Задача
ALG-B1-M01-P025 Сильная форма кубического тождества
#25
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\). Докажите, что \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\), и определите, когда возможно равенство.
Используйте факторизацию \(a^3+b^3+c^3-3abc\).
Имеем \[ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca). \] Так как \(a,b,c\ge0\), первый множитель \(a+b+c\ge0\).
Второй множитель неотрицателен, потому что \[ 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2. \] Значит, вся разность неотрицательна. Равенство возможно, если \(a+b+c=0\), то есть \(a=b=c=0\), или если второй множитель равен нулю, то есть \(a=b=c\). В обоих случаях условие равенства: \(a=b=c\).
Это хорошая задача на переход от тождества к неравенству и случаю равенства.