Задача
ALG-B1-M01-P024 Восстановить пару по степеням
Действительные \(x,y\) удовлетворяют \(x^2+y^2=10\), \(x^3+y^3=10\). Найдите все возможные значения \(x+y\).
Положите \(s=x+y\), \(p=xy\). Условия дадут уравнение только для \(s\).
Пусть \(s=x+y\), \(p=xy\). Из \(x^2+y^2=s^2-2p=10\) получаем \(p=\frac{s^2-10}{2}\).
Далее \(x^3+y^3=s^3-3ps=10\). Подставим \(p\): \[ s^3-\frac{3s(s^2-10)}{2}=10. \] Умножаем на \(2\): \(2s^3-3s^3+30s=20\), то есть \(s^3-30s+20=0\) с противоположным знаком: \(s^3-30s+20=0\).
Проверяем рациональные корни: \(s=1\) не подходит, \(s=2\) даёт \(-32\), \(s=4\) даёт \(-36\), \(s=5\) даёт \(-5\), \(s=-6\) даёт \(-16\). Уравнение можно оставить как кубическое условие, но нужно ещё требовать действительность \(x,y\): дискриминант \(s^2-4p=s^2-2(s^2-10)=20-s^2\ge0\). Значит, допустимы только действительные корни кубика на отрезке \([-\sqrt{20},\sqrt{20}]\).
Эта задача специально показывает, что не всегда ответ обязан быть красивым числом.