Задача
ALG-B1-M02-P020 Все простые значения сдвинутого выражения
#20
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все целые \(n\), для которых \(n^4+4n^3+6n^2+4n+5\) является простым числом.
Сначала узнайте \((n+1)^4+4\).
Данное выражение равно \((n+1)^4+4\). Положим \(m=n+1\). Тогда \(m^4+4=(m^2-2m+2)(m^2+2m+2)\).
Если \(|m|>1\), это нетривиальное разложение. При \(m=0\) получаем \(4\), не простое. При \(m=1\) или \(m=-1\) получаем \(5\), простое.
Значит, \(n=0\) или \(n=-2\).
Сдвиг делает стандартный приём менее очевидным.